Apuntes de Matematicas IV

Forma Cartesiana

Numeros Complejos

Forma Cartesiana

Imagniario

$\sen\Theta =\frac{CO}{H}$
$\sen\Theta =\frac{b}{r}$
$b=r \sen\Theta$

$\cos\Theta =\frac{CA}{H}$
$\cos\Theta =\frac{a}{r}$
$a=r \sen\Theta$

Ejercicio:

$(1-\sqrt{3}i)$

$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$r=\sqrt{(1)^{2}+\sqrt{(3)^{2}}}$

$r=\sqrt{1+3}$

$r=\sqrt{4}$

$r=2$

$\Theta=\tan^{-1}(\frac{b}{a})$
$\Theta=\tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{1})$
$\Theta=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$
$\Theta=-60\grads$
$\Theta=300\grads$

$(1-\sqrt{3}i)=2(\cos (300)+isen (300))$

Grados y Radianes

$1 = \frac{\pi}{180}rad$
$1 rad = \frac{180}{\pi}$

Numeros Complejos .- Ejercicio

Tarea:

1) $(0+2i)+(0-2i)$
2) $(3+i)-(2-i)$
3) $\frac{(4+i)}{(2-i)}$
4) $(2-3i)(1+i)$

Resultados.-

$(0+2i)+(0-2i)=0+0=0$

$(3+i)-(2-i)=1+2i$

$\frac{(4+i)}{(2-i)}=\frac{8+4+2i+i^{2}}{2^{2}-i^{2}}=\frac{8+6i+i^{2}}{4-(-1)}=\frac{6i+7}{5}$

$(2-3i)(1+i)=2+2i-3i=5-1$

Clasificacion de Numeros Reales

Numeros Naturales
Son aquellos numeros como: 1, 2, 3, ..., 8.

Numeros Enteros
Son aquellos que incluyen los números naturales al igual que sus opuestos y el cero.
Es decir: -∞, …, -2, -1, 0, 1, 2, …, ∞.

Numeros Fraccionales
Son fracciones donde el nuemrador no es múltiplo del denominador y el denominador es no nulo.

Hay dos tipos:

Fracciones Propias: Numerador < Denominador.
Fracciones Impropias: Numerador > Denominador.

Los números fraccionarios tienen una expresión como numero decimal.

Numeros Decimales Exactos: Son un numero finito de decimales (1. 234).
Numeros Decimales Periodicos Puros: Son un numero infinito de decimales tales que la parte decimal se repite (1. 234342… = 1.234).

Un numero real puede ser racional (si se puede representar mediante una fraccion).
Un numero real puede ser irracional (si no se puede representar mediante una fraccion).

Algunos ejemplos de números racionales son (2, 8, 3/4, 8/7).
Algunos ejemplos de nuemros irracionales son (√2, √3, √5)).

Los números irracionales a su vez se pueden dividir en irracionales algebraicos (se obtienen como solución de una ecuación algebraica) y en irracionales trascendentes (los cuales no se obtienen de esa forma).

Por ejemplo: el numero 2 se puede obtener de 2x4 y √2 se puede obtener de . El numero (e) y el numero (pi) nunca son soluciones de ecuaciones algebraicas.

Unidad I.- Numeros Complejos

Unidad I
Numeros Complejos

Ecuacion Cuadratica

$y=x^{2}+x+1$

Raices: Es encontrar los puntos donde la funcion va a cruzar.
$y=x^{2}++1$
$y=(x+1)(x+1)$ $y=x^{2}+2x+1$

Forma Correcta:

$x=\frac{-b\underline{+}\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-1\underline{+}\sqrt{(-1)^{2}-4(1)(1)}}{2(1)}$

$x=\frac{-1\underline{+}\sqrt{-3}{2}$

$x_{1}=\frac{-1-\sqrt{-3}{2}$
$i=\sqrt{-1}$ $i^{2}=\sqrt{(-1)^{2}}$ $i^{2}=-1$

Tarea:
Investigar la clasificacion de los numeros reales.

La suma o resta de numeros complejos son aquellos donde la parte real la conforma la suma o la diferencia de las partes reales y la parte imaginaria es la suma o la diferencia de las partes imaginarias.

Ejemplo:

$(a+bi)\underline{+}(c+di)=(a+c)\underline{+}(bi+di)$

$(2-3i)+(4-i)=6+(-4i)=6-4i$

$(2-3i)-(4-i)=-2-2i$

La multiplicacion de los numeros complejos es otro numero complejo, el cual se logra realizando el producto de los dos binomios de forma algebraica:

$(3-3i)(4-i)=12-3i-12i+3i^{2}=12-3-15i^{2}=(9-15i)$

La razon o division de dos numeros complejos es otro nuemero complejo, el cual se obtiene multiplicando el numerador como denominador por el conjugado del denominador:

Sea:

$\overline{(3-i)}$ el conjugado de $(3+i)$

El conjugado de un numero complejo es otro numero complejo, cuya parte real es la parte real del complejo y la parte imaginaria es el inverso aditivo del complejo, es decir:

$\overline{(2-3i)\endoverline%=(2+3i)}$ Diferencia de Cuadrados: $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Ejemplo:
$\frac{(-2+4i)}{(2+i)}=\frac{(-2+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{-4+2i+8i-4i^{2}}{2^{2}+1^{2}}=\frac{0+10i}{5}=0+2i$

Forma Trigonometrica

$Z=r(\cos +i\sen)$
$Z=r(cis)$
$=\tan^{-1} (\frac{b}{a})$ $=arc tan (\frac{b}{a})$
$r=2$

$(0+2i)$ $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ $r=\sqrt{(0)^{2}+(2)^{2}}$ $r=\sqrt{4}$
$=tan^{-1}(\frac{b}{a})$ $=tan^{-1}(\frac{2}{0})$ $=tan^{-1} 8$ $=90°$ $=90°$ $Z=2(0+1i)$
$Z=r(\cos +i\sen )$ $Z=2(\cos 90°+i\sen 90°)$ $Z=0+2i$
Tarea:
Investigar la clasificacion de los nuemeros reales.

Apuntes de Matematicas IV

sábado, 20 de septiembre de 2008

Forma Cartesiana

Numeros Complejos .- Ejercicio

Clasificacion de Numeros Reales

Unidad I.- Numeros Complejos

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