Apuntes de Matematicas IV: Teorema de D'Moivre

Potencia de los Numeros Complejos

Si:

$c=c^{1}=r[\cos \Theta + i \sen \Theta]$
$cc^{1}=[r(\cos \Theta + i \sen \Theta)][r^{1}(\cos \Theta^{1} + i \sen \Theta^{1})]$
$c^{2}=r^{2}(\cos 2 \Theta + i \sen 2 \Theta)$

En General:

$c^{n}=r^{n}[cos (n \Theta) + i \sen (n \Theta)]$

Ejemplo:
$(-1+\sqrt{3}i)^{3}$

$r=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}$

$r=\sqrt{4}$

$r=2$

$\Theta=\tan^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{-1})$

$\Theta=\tan^{-1} (\sqrt{3})$

$\Theta=-60=120$

$r[\cos \Theta +i \sen \Theta]$
$2[\cos 120 +i \sen 120]$

$c^{3}=2^{3}[\cos 3(120) +i \sen 3(120)]$
$c^{3}=2^{3}[\cos 360 +i \sen 360]$
$c^{3}=8[-0.5 -0.8660 i]$
$c^{3}=(-4-6.928i)$

$(1+i)^{4}=[r(\cos \Theta + i \sen \Theta)]^{4}$

$r=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}$

$r=\sqrt{2}$

$\Theta=\tan^{-1} (1)$
$\Theta=45$

$r[\cos \Theta +i \sen \Theta]$
$\sqrt{2}[\cos 4(45) +i \sen 4(45)]$

$c^{4}=\sqrt{2}^{4}[\cos 4(45) +i \sen 4(45)]$
$c^{4}=\sqrt{16}[\cos 180 +i \sen 180]$
$c^{4}=4[-1 +i 0]$
$c^{4}=4[-4 + 0 i]$

Apuntes de Matematicas IV

sábado, 20 de septiembre de 2008

Teorema de D'Moivre

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